در رابطه بالا t0 زمان مرجع می‌باشد.
شرایط دمای ثابت یا حتی دمای متغیر به علت اینکه دما یک اسکالر است برای اعمال ساده می‌باشد. اما اعمال شرایط شار سطح به راحتی حالت اول نیست معادله با شرط مرزی نیومن را می‌توان با در نظر گرفتن کسینوس‌های هادی در جهت نرمال سطح به صورت زیر به دست آورد:
( اینجا فقط تکه ای از متن فایل پایان نامه درج شده است. برای خرید متن کامل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )
۲‑۲۱
Kx+Ky
یا حتی می‌توان معادله با شرط مرزی انتقال حرارت جابجایی را نیز به صورت زیر بازنویسی نمود:
۲‑۲۲
Kx+KyKz=h(T-T0)
که ،،کسینوس‌های هادی سطح و به سمت خارج می‌باشند.
برای حل مسایل انتقال حرارت هدایتی روش‌های حل تحلیلی وجود دارد ولی در واقعیت در بسیاری از مسایل هندسه و شرایط مرزی پیچیده می‌باشد و دیگر حل تحلیلی امکان پذیر نمی‌باشد و حتی اگر روابط تحلیلی را برای بعضی از موارد پیچیده بسط داده شود همواره با حل سری‌های پیچیده ای ایجاد می‌شود و باید عملیات‌های مشکلی انجام داد تا به جواب رسید در این چنین شرایطی نیاز به حل عددی احساس می‌شود.
روش‌های عددی که تا کنون مورد استفاده قرار گرفته‌اند شامل تکنیک‌های اختلاف محدود ، حجم حدود و المان محدود و المان مرزی است که در این تحقیق از روش المان محدود استفاده می‌شود. روش‌های عددی در مقایسه با حل تحلیلی که دما را در هر نقطه از محیط بدست میاورد ، فقط قادر است دما را در یک سری نقاط گسسته بدست آورد و انتخاب این نقاط در هر آنالیز عددی اولین قدم حل محسوب می‌شود. این کار با تقسیم ناحیه حل به تعدادی ناحیه های کوچک‌تر انجام می‌گیرد و این نواحی را با انتخاب نقاط محدود می‌کنیم یعنی می‌توان گفت که نواحی بین یکسری نقاط قرار می‌گیرد.
به نقاط مرجع نقاط گره ای گفته می‌شود و همه آن‌ها مجموعه مش یا شبکه را به وجود میاورند هر گره بیانگر ناحیه معینی حول خود بوده و توزیع دمای ناحیه را مشخص می‌کند.
دقت عددی این محاسبات به تعداد نقاط گره شدیداً وابسته است و این گره‌ها نیز تعداد المان را مشخص می‌کنند و هر چه اندازه مش‌ها به صفر نزدیک شود حل عددی نیز دقیق‌تر خواهد شد.
روش المان محدود
بسیاری از سیستم‌های مهندسی را می‌توان با تقسیم بندی به اجزا ساده نمود و با بهره گرفتن از مفاهیم و اصول اولیه آن‌ها را تحلیل نمود و با اسمبل کردن این اجزا کل سیستم نیز تحلیل می‌شود. این سیستم‌ها را سیستم‌های گسسته می‌نامند. در بررسی یک سیستم گسسته پاسخ را با حل تعداد محدودی بدست میاید اما سیستم پیوسته به وسیله حل معادلات دیفرانسیلی پیچیده مشخص می‌شود به عبارت دیگر در این حالت پاسخ سیستم توسط نامحدودی مجهول بیان می‌شود. برای بدست آوردن دقیق یک مسئله پیوسته بسیار مشکل است. بنابراین برای حل روش‌های عددی استاندارد نیاز می‌باشد. اگر مشخصات یک مسئله بتواند با معادلات نسبتاً ساده بیان شود با به‌کارگیری تعداد محدودی از اجزا در ماتریس‌های ساده تحلیل شوند پروسه فوق سیستم پیوسته را به یک سیستم فیزیکی گسسته که قابل تجزیه و تحلیل باشد تبدیل می‌کند. پس اولین مطالعه مقدماتی این است که آیا سیستم به صورت پیوسته یا گسسته باشد.
اگر سیستم ما با بهره گرفتن از معادلات دیفرانسیلی پیچیده تحلیل شده باشد اول باید بدانیم که چگونه این معادلات می‌توانند توسط روش‌های عددی مناسب گسسته شوند و با تغییر تعداد مجهولات و المان‌ها می‌تواند دقت حل را کنترل نمود و با در دسترس بودن کامپیوتر دیجیتال و تکنیک‌های المان محدود شرایط حل عددی سیستم پیوسته را در یک وضعیت اصولی فراهم می‌شوند. این کار در واقع توسعه عملی و کاربرد پروسه های کلاسیک را در سیستم‌های پیچیده مهندسی فراهم میاورد.
در گسسته سازی یک سیستم باید مراحل زیر را طی نمود:
الف)تطابق سیستم:
سیستم به صورت مجموعه ای از المان‌ها در نظر گرفته می‌شود.
ب)مشخصات المان:
مشخصات هر المان یا هر جز توسط متغیرهای اصل مشخص شود.
ج)اسمبل کردن:
از معادلات شبیه سازی شده با اسمبل کردن مشخصات المان‌ها برای متغیرهای مجهول تشکیل شود.
د)حل معادلات:
معادلات شبیه سازی شده حل می‌شوند تا همه متغیرهای اصلی روی نقاط مشخص شده تعیین شود.
در اینجا به عنوان مثال انتقال حرارت را در یک ترکیب هدایت-جابجایی بررسی می‌کنیم.
همان‌طور که می‌دانیم جهت افزایش انتقال حرارت جابجایی از یک سطح می‌توان سطح مورد نظر را افزایش داد که این کار با اضافه کردن سطوح اضافه انجام می‌گیرد .این سطوح اضافه را سطوح گسترش یافته یا پره می‌نامند. پره‌ها نمونه خوبی از چاه حرارتی می‌باشند و برای ساده سازی می‌توان تغییرات دما را در جهت ضخامت و در جهت عرض پره را ناچیز فرض می‌کنیم یعنی تغییرات دما فقط در جهت طول پره و ارتفاع بدنه اصلی که پره به آن متصل می‌باشد در نظر می‌گیریم.
در این قسمت یک پره را به عنوان سیستم پیوسته به یک سیستم گسسته تبدیل و روابط موجود را می‌نویسیم:
معادلات بالانس انرژی در گره های اول را می‌توان به صورت زیر بازنویسی کرد:
