همان طور که مشخص است دقت بسطهای فوق از مرتبه دو  است.
با توجه به غیر خطی بودن معادلات حاکم و احتمال واگراییِ روش حل، از تکنیک شبه خطی سازی[۵۸]، به منظور افزایش همگرایی فرایند حل مساله استفاده شده است. به این ترتیب پس از خطی سازی معادلات، جملات مشتق با روش تفاضل محدود گسسته می شوند و برای رهایی از مشکلات ناشی از ناپایداری، معادلات تفاضل محدود به شکل ضمنی نوشته می‌شوند. در معادلات ضمنی بیش از یک مجهول در معادله تفاضل محدود ظاهر می‌شود، لذا مجموعه‌ای از معادلات را باید به طور همزمان حل کرد که باعث افزایش زمان محاسبه در هر تکرار می‌شود. امّا همان طور که ذکر شد روش های ضمنی دارای فایده مهم پایداری معادلات تفاضل محدودند، زیرا بیشتر آنها بی‌قید و شرط پایدارند. نهایتا پس از گسسته سازی معادلات حاکم و انجام عملیات ریاضی و ساده‌سازیهای لازم، معادله گسسته شده به دستگاه معادله‌ای به شکل  برای هر تکرار منجر می‌شود که در آن  ماتریس ضرایب،  بردارمقادیر مجهول و  بردارمقادیر معلوم هستند. از حل این دستگاه می‌توان مقادیر هرتابع را در هر تکرار بدست آورد.

( اینجا فقط تکه ای از متن فایل پایان نامه درج شده است. برای خرید متن کامل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )

پس به طور خلاصه می‌توان بیان داشت که معادله f برای مقادیر مختلف  و با انتخاب عدد  به روش تفاضلات متناهی مرکزی حل شدند. دستگاه معادلات جبری بدست آمده در هر تکرار منجر به یک ماتریس سه قطری می‌گردد که با الگوریتم ماتریس سه قطری(TDMA) قابل حل می‌باشد. برای بدست آوردن جواب در هر تکرار، جواب تکرار قبلی به عنوان حدس اول تکرار جدید در نظر گرفته شده است. برای تکرار اوّل تمام مقادیر مجهول صفرفرض می شود و تکرا آغاز می شود. شرط همگرایی تکرارها و رسیدن به جواب این است که تغییرات ایجاد شده در هر نقطه از  در دو تکرار متوالی از مقدار بسیار کوچک  (که توسط کاربر قابل تغییر است) کمتر باشد.
۴- ۳-۱-حل معادله f باروش تفاضل محدود
برای حل معادله f ابتدا با تغییر متغیر  مرتبه معادله را کاهش می دهیم تا به معادله دیفرانسیل معمولی مرتبه دومی نسبت به F برسیم سپس با بهره گرفتن از تکنیک شبه خطی به همراه الگوریتم TDMA معادله را حل می کنیم.
با تغییر متغیر  ، معادله f به صورت زیر تبدیل می شود:

در روش شبه خطی، برای متغیر های  به صورت زیر عمل می کنیم:

در رابطه بالا  ،  ،  ،  و  به صورت زیر بدست می آیند:

با توجه به رابطه (۴-۵۰)، و با توجه به تعیین ضرایب  ،  ،  و  ضریب  به صورت زیر تعیین می شود:

با توجه به اینکه  می باشد، پس از ساده سازی های بیشتر ضریب  به صورت زیر بدست می آید: